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一、证明题

1． 设y=f（u ）在[A, B]上连续,

证明:

,

当

因此作[a, b]的分割之后, 在则只要从而

由此知, 在

上, 若

必有

, 故

这样,

条件的

必要性对上述的

和>0, 分割T , 使得

于是由式（2）知

最后由第三充要条件的充分性即知, F （x ）在[a, b]上可积.

2． 证明:若函数f 和g 均在区间I 上可导, 且相差某一常数, 即

【答案】令数,

即

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在[a, b]上可积. 当时,

,

.

在[a, b]上可积.

时, 有

上, 若事实上,

必有

的振幅

,

,

的振幅

【答案】由于f （u ）在[A, B]上连续, 所以它在[A, B]上一致连续, 即

, 先找使式（1）成立. 再由在[a, b]上的可积性, 利用第三充要

则在区间I 上f （x ）与g （x ）只

可知h （x ）为I 上的常量函

（c 为某一常数）.

（c 为某一常数）. , 则在I 上有. 亦即

3． 设方程组

证明:除了不能把x , y , z 用u 惟一表出外, 其他任何三个变量都能用第四个变量惟一表出. 【答案】令

则F

在上可微, 且连续, 方程F=0中任何三个变量能否用第四个变量惟一表出, 主要是看是否满足定理的条件（iii ）.

（1）记

因为

所以x , y , z 不能用u 惟一表出. （2）记

因为

所以当（3）记

因为

所以当⑷记

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时, 故x , y , u 能用z 惟一表出.

时, , 故x , z , u 能用y 唯一表出.

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因为

所以当 4． 设

（1）（2）若

【答案】（

1）

因为

于是当

时, 有

其中存在正整数

使得当

时, 有

取

则当

时, 有

故

由这个等式不能推出（

2）根据极限保号性, 由由平均值不等式有

由（1）的结论可得

例如

可得

如果

但那么

不收敛

.

.

又因为

所以对上面的

则

所以对于任意的

证明:

（又问由此等式能否反过来推出

存在正整数

, 当

时, 有

）;

时

, 故y , z , u 能用x 惟一表出.

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