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一、证明题

1． 证明sinx

在

【答案】对于任意的

上一致连续.

有

对任给的sinx

在

,

取

, 则对一切

2． 设f （x ，y ）可微，证明:在坐标旋转变换

是一个形式不变量，即若

则必有【答案】

（其中旋转角0是常数）.

故

3． [1]证明:若数列

[2]证明:若数列（1）级数（2）当（1）（2）（3）

【答案】[1]级数的前n 项和

.

而

，所以

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,

当时,

有, 故

上一致连续

.

之下，

收敛于a ，则级数. 有

发散；

，则

.

时，级数

[3]应用第[1][2]题的结果求下列级数的和.

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即

[2] （1）级数的前n 项和

则

（2）级数的前n 项和

即 [3]（1）记（2）

记（3）

记b=n+1，，则由第[2]题可得，原式=

4． 设函数列

【答案】设当又设

. 与时, ,

, 存在正整数N 0, 使得

而

, 所以

同理可证g （x ）在I 上也有界. 设其次证明

与

在I 上一致有界. 由I

整数N 1, 当n> N1时有

对

因此

, 当

时有

第 3

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2

故级数发散.

，则

由第[1]题可得，原式=

.

. 则

由第[1]题可得，原式=-（-1）-0=1.⑴=1

在区间I 上一致收敛,

且对每个n ,

在I 上必一致收敛.

,

与都是I 上的有界

函数（不要求一致有界）. 证明:

首先证明f （x ）, g

（x ）在I 上有界.

. ,

_

, 故存在正

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令

最后证明有

于是当n>N时,

有

故 5．

设

【答案】因为

由Dirichlet 判别法可判断，利用Abel 引理，由于

收敛，即得，则

令

取极限得

，结论得证.

. 证明f 在[a

, b]

上连续.

. 设.

或者

. . 而

. 这与f 的值域为

.

. 因为f 为. 因为当

同理有

都存在. 设. 于是或者

收敛.

，证明：

当

时，有

收敛，且有

界，

.

单调递减且

在I 上一致收敛于f

（x ） g （x ）

.

,

, 取正整数N , 使得当n>N时,

, 则

及

有

•由题设

条件

知

6． 设f 为[a, b]上的增函数, 其值域为上的增函数, 所以时,

假设这是因为:当当矛盾. 故f 在

时, 上连续.

与

【答案】用反证法. 假如

f 在[a, b]

上不连续, 则f 有间断点

, 由函数极限的保不等式性得

因为x 0为f （x ）的间断点, 所以

. 则不存在, 使得

时,

二、解答题

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，共

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