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一、证明题

1． 试用有限覆盖定理证明聚点定理.

【答案】设S 是实轴上的一个有界无限点集,

并且

都不是S 的聚点,

于是存在正数使得

是

盖, 设为有一个聚点.

2． 设f , g 为定义在D 上的有界函数, 满足

（1）（2）

【答案】（1）设于是, 是（2）设于是是

3． 证明下列各式:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【答案】（1）于是（2）由于于是

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假设S 没有聚点,

则任意

的一个有限覆

中

中只含有S 中有穷多个点.

而开区间集

的一个开覆盖. 由有限覆盖定理知,

存在它们也是S 的一个覆盖. 因为每一个

只含有S 中有穷多个点, 故S 是一个有限点集. 这与题设矛盾. 故实轴上的任一有界无限点集S 至少

证明:

只需证

只需证

的一个下界, 而是

因对一切

, 有

有

的一个上界, 而是

的最小上界, 故

. 因为对一切的最大下界, 故

由函数极限的局部有界性知,

由函数极限的局部有界性知,,

在

内有界,

在

内有界,

（3）由（

4）因为

1

知

所以（5

）（6

）设

则

于是

故

（7

）设

,

则

于是

故

4

． 在[0, 1]上定义函数列

证明级数

【答案】由

在[0, 1]上一致收敛, 但它不存在优级数. 定义可得

即

于是, 在某个

内

有界, 故

从而时, 有

及

, 有

恒成立. 所以对于任意

取

当n>N时, 对任意的

由柯两准则知, 级数

在[0, 1]上一致收敛. 若

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页

存在优级数特别取, 有

而正项级数优级数

5． 设

（2）

【答案】（1）一方面, 若这表明

.

另一方面, 因为表明

（2）且

, 即

（3）一方面, 由（2）有另一方面

,

, 则

且

又因为f 是一一映射, 所以

.

综合两方面, 有 6． 设

是有界闭集，

所以

, 则

,

故

; ,

即

使

,

使

,

使y=f（x ）, 即

.

是D 上的连续函数.

, 这表明

, 则或

, 即

综合两方面, 有

. , 使y=f（x ）因为

.

, 使y=f（x ） .

或

. 所以

且

,

则

从而

, 这

, 则

, 使y=f（x ）所以发散. 所以级数

发散, 这与

为优级数矛盾, 因此级数

不存在

A , B 是X 的任意子集, 证明:（1）

; （3）若f 是一一映射, 则

, 则

或, 总

, 若

, 则,

使y=f

（x

）,

即

.

; . 使y=f,

（x ）

,

证明：f （x ,

y ）在D 上有界

，且一定取到最大值和最小值. 【答案】①f （x , y ）在D 上有界，用反证法来证明： 若f 无界，则

且

所以由连续性，

，这与已知条件矛盾，所以f

（x

, y ）在D 上有界.

②f （x , y ）在D 上一定取到最大值和最小值. 用确界原理来证明. 由确界原理，知

存在，即

且

再由连续性和有界性得，

同理可得f

（x , y ）在D 上有最小值.

二、解答题

7． 设f （x , y , z ）在

则

在[a, b]上连续.

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上连续. 令