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一、证明题

1． 设

收敛

，

证明

：

的前n 项和S n . 则

对上式两边取极限，从而

即

2． 证明:函数

在点（0, 0）连续且偏导数存在, 但在此点不可微. 【答案】因为

从而

所以, f （x , y）在点（0, 0）连续. 由偏导数定义知

同理但当 3． 设

在

上连续并且单调递减, 证明:函数求导, 得

在

单调递减.

时, 其值为0. 所以,

所以, f （x , y）在点（0, 0）的偏导数存在.

考察

由于当

时,

其值为

不存在, 故f （x , y ）在点（0, 0）不可微.

.

【答案】记级数

【答案】对

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由即函数

在上连续且单调递减, 得

在

上单调递减.

所以

4． 证明:若f 与g 都在[a, b]上可积

, 且g （x ）在[a

, b]

上不变号, M

、m

分别为f （x ）在

[a, b]

上的上、

下确界,

则必存在某实数【答案】设

,

,

由定积分的不等式性质, 得

若

, 则由上式知

,

从而对任何实数

若令 5． 设（f x ）满足

则

f 在在

上恒等于0.

上连续. 由最小最大值定理知

, f （

x ）

现再由为最

上的最大值为M

, 最小值为

m , 并且

由费马定理知

为f （x ）的一个严格极小值. 这与

, 则得

, 则

,

且

.

均有

,

,

使得

.

因

,

, 所以

有

, 其中g （x ）为任一函数. 证明:若,

【答案】反证法. 因f （x ）存在二阶导数, 故f （x ）在

上存在最大值和最小值. 设f （x

）在, 因

得

大值矛盾, 故M=0.同理可证m=0.所以在

6． 证明级数

【答案】“”:取

收敛的充要条件是:任给

, 由级数

, 故

证M=m=0.假设

. 于是

于是上

, 存在某正整数N , 对一切n>N时, 总有

有

收敛, 则存在正整数N 1,

, 则当n>N时有

, 由已知条件, 存在正整数N ,

有

于是及任意正整数P 有

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由柯西收敛准则知级数

收敛.

二、解答题

7． 求下列极限:

（1）（2）（3）（4）（5

）（6）

【答案】 （1）（2）（3）

（4）（5）由

得到

（6）