2018年南京财经大学应用数学学院615数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ）是非负函数, 在[a, b]上二阶可导, 且有根, 就只能有一个根.
【答案】设
, 使得
. 首先有.
. 事实上, 由假设
其次, 假定存在
证明可得
这与
2．
设级数
再在
的假定矛盾. 与级数\
都发散，
试问
与
两级数均发散，但又如，（2）当
与
，即
，两级数均发散，且均非负时，则
收敛.
发散.
一定发散. 这是因为:由
而由
与
非负有
由柯西准则知
发散.
3． 设u=u（x , y , z ）, v=v（x , y , z ）和x=x（s , t ）, y=y（s , t ）, z=z（s , t ）都有连续的一阶偏导数.
证明:
【答案】
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, 求证:方程f （x ）=0在（a , b ）内如果
,
（不妨设上对
, 使得
用罗尔中值定理,
则存在
）那么根据上述
,
使得
一定发散吗？又若与都发散时
，
都是
非负数，则能得出什么结论？
【答案】（1）
当
不一定发散.
如
发散知存在
吋任意自然数N ，总存在自然数m （m>N）和p 使
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4． 设f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内除仅有的一个点外都可导.
求证:, 使得
【答案】设函数f （x
）在点处不可导. 分别在（
a ,
d ）上和在（
d , b ）上对
f （
x ）用微分中值定理,
可得
和
其中由此可得到
其中
5． 证明:若f （x ）在[a, b]上可积,
【答案】已知f （
x ）在[a, b]上可积, 故任给上增加
两个分点, , 得到一个新的分割T’, 则由上题结论知
分割T’在
上的部分, 构成
的一个分割, 记为
, 则有
故由可积准则知, f （x ）在
6． 设f 、g 、h
是定义在
证明
: （1）若
（2）又若
【答案】（1）因为当
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,
和. 将以上两个等式相加, 可得
, 则f （x
）在上也可积.
, 在T
, 存在对[a, b]的某分割T
, 使得
上可积.
上的三个连续函数, 且成立不等式都收敛, 则
, 则
与
也收敛;
收敛, 所以由定理可知, 对任给
存在
，使得.
与
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时, 便有
由题设于是, 当（2）由又因为
时
,
得
,
, 所以, 由迫敛性定理知,
可得
,
, 再由定理知,
, 收敛.
,
二、解答题
7． 将
【答案】令
按
的幂展开成幂级数. , 则
因此
因为当-1 即得 8． 求函数 在该点切线方向导数. 【答案】因曲线过点（1, 2, ﹣2）, 所以M 的切线方向的方向余弦为: 而 故所求方向导数为: 于是 故曲线在点 在点M （1, 2, ﹣2）处沿曲线 , 亦即x>0. 9． 试写出单位正方体为积分区域时, 柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限. 【答案】在柱面坐标系下, 用z=c的平面截立方体, 截口是正方形, 因此, 单位立方体可表示为 第 4 页，共 35 页