2017年中国矿业大学(北京)理学院802高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 一平面过点（1，0，﹣l ）且平行于向量a=（2，1，1）和b=（1，﹣1，0），试求这平面方程.
【答案】所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量
故所求平面为1·（x －1）＋1·（y －0）－3·（z ＋1）=0，即
x ＋y －3z －4=0
2． 求锥面
被柱面
所割下部分的曲面面积。
【答案】由
解得
，
故曲面在xOy 面上的投影区域
（图）
图
被割曲面的方程为
于是所求曲面的面积为
3． 求下列函数的n 阶导数：
【
答
案
】
（第 2 页，共 24 页
1）
（2）由
知
4． 设在区
间
求级数
【答案】当n 为偶数时，
上由曲
线的值。
；当n 为奇数时，
令
则
得
又
故
5． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?
【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为故
第 3 页，共 24 页
与x 轴所围成的平面图形的面积
为
。故
, 又
令当
, 得
时,
, 故V 在
内单调增加; 当
为极大值点, 又驻点惟一, 从而时, 做成的漏斗的容积最大。
时,
, 故V
在
内单调减少。因此
也是最大值点, 即当
取
图
6． 求曲线
切线及法平面方程。
【答案】
与
相应的点
为，于是所求切线方程为
法平面方程为
即
7． 汽车以20m/s的速度行驶, 刹车后匀减速行驶了50m 停住, 求刹车加速度。可执行下列步骤:
（l ）求微分方程（2）求使（3）求使【答案】
的t 值; 的k 值。
, 满足条件
的解;
，曲线在该点处的切向量
为
k 在与
相应的点处的
第 4 页，共 24 页