2018年山东大学控制科学与工程学院825线性代数与常微分方程之常微分方程考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 试求下列方程的通解
：
【答案】（1
）易知对应的齐次线性微分方程
的基本解组为
直接利用教材中公式（5.31）来求方程的一个特解，
这时
由公式（5.31
）即得（取
）
所以原方程的通解为（2
）对应齐次方程
即得到
所以齐次方程的通解为
令原方程的一个特解为
代入原方程则得到
的特征方程为
即特解为
于是原方程的通解为
（3
）对应齐次方程
即得到
故齐次方程的通解为
的特征方程为
令原方程的一个特解为
代入原方程则得到
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即特解为于是原
方程的通解为
2． 设A （t
）为区间
为其一解. 试证：（1）（2
）
对于方程
.
为方程
上的连续
实矩阵
为方程必有
的基解矩阵，
而常数；
的任一解
的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C ，
使
是
的解，
于是
【答案】（1
）由于
同理，
由于
是方程的解，
于是
而对
求导函数得
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所以阵，故一个列向量
常数.
由于
并且
是基解矩阵，
则
满足
另外由于
这样
的每一个列向量
常数
分别是基解矩阵，
从而
也就是C 是非
证毕.
是方程
的基解矩因此与
的每
这就是说
存在，
所以
（2）充分性存在非奇异矩阵C ,
使得
是基解矩阵.
必要性
是常数矩阵，
记为
奇异的.
因此，存在非奇异常数矩阵C ，
使得3．
给定微分方程组
其中f （x ，y ）有连续一阶偏导数. 试证明在原点邻域内如f>0则零解为渐近稳定的，而f<0则零解不稳定.
【答案】
取
则
所以在原点邻域内如果定的.
则零解是渐近稳定的，
而时，则零解是不稳
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