2018年山东大学数学学院825线性代数与常微分方程之常微分方程考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 解下列方程，并求奇解（如果存在的话）
：
并画出积分曲线图
；
并画出积分曲线图
；
为常数）
；
【答案】（1
）令并对方程两边关于x
求导得
即
①当
或者时，
求得为任意常数
又
所以方程的参数解为
另外，
当
②当时，
原方程变成
时，求得
•
容易验证而
也是方程的解.
所以方程还有奇解为
（2
）原方程变形为
令
则
两边关于x 求导，
得到
即
积分之，
得
所以方程的参数解为
另外，
当
（3
）令
时，
原方程变为则方程可以写成显然它也是方程的解.
这是克莱罗方程，因而它的通解就是
从
中消去c ,
得到奇解
这方程的通解是直线族，而奇解是通解的包络.
（4
）令
则方程可以写为
这是克莱罗微分方程，因而它的通解就是
从
中消去C ，
得到奇解
'
或者
（5
）令
则方程可以写成
两边对x 求导，
则
即
这是一阶线性微分方程，积分可得
.
即
从而原方程的参数解为
（6
）设则方程变为
，
这是克莱罗微分方程，
因而它的通解就是