2017年中国矿业大学(北京)理学院802高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设交基，其中：
【答案】先证则得再对
再单位化，即得w 的一标准正交基：
2． 设
是关于内积
正交化：易知
于是得正交基：
再标准化：由于
且
故得
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是5维欧氏空间V 的一个标准正交基，求子空间
线性无关：设若
故
正交化，得
从而
的一个标准正
线性无关.
作成的欧氏空间. 试求其一标准正交基.
【答案】先将基
的一标准正交基为：
3． （1）设S 为n 阶反对称阵，证明：
（2）若存在正交阵A ，使【答案】（1）因为
必为正交阵.
可逆，则必存在n 阶反对称阵S 、使
又因为所以
故A 是正交矩阵. （2）欲使以只要取
必须下面证明：
即
即S 反对称. 事实上
又由A 正交知，所以
4． 设3阶方阵A 的特征矩阵，
与等价，
（1）求
的标准形；
而
可逆，所
（2）求A 的若当标准形. 【答案】（1）由故A 的初等因子为所以
的标准形为
（2）据A 的初等因子可得A 的若当标准形为
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与等价知，与等价.
从而A 的不变因子为
5． 判断下列两个多项式有无重因式？再求其在有理数域Q 上的标准分解式：
【答案】用辗转相除法可得
即
故f （x ）有重因式. 又因为
故x-4与x+1是f （x ）的仅有的不可约因式. 再利用（综合）除法易知，x-4是f （x ）的单因式，而x+1是 f （x ）的4重因式. 故f （x ）在Q 上的标准分解式为
②利用辗转相除法，在有理数域Q 上可得
故g （x ）有重因式. 又易知
故g （x ）在Q 上的不可约多项式仅有都是g （x ）
的2重因式，故g （x ）在Q 上的标准分解式为
6．
不全为0, 求证:
【答案】证法14
且
于是
且
再由③有
从而存在使
进而，
由⑥知
由④，⑦得证①. 证法2
则
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利用多项式除法又进一步可知，
则①式改为
两边乘
有