2017年中国民航大学理学院817高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨.
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，
分别为A ，B 的伴随矩阵，
因此
即
的3个线性无关的解，
为任意
3． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 4．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
【答案】（A ）
5． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
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则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
【解析】方法1 用排除法令则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
二、分析计算题
6． 设列向量
【答案】设但反之，设
则
即
的解•
7． 证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数.
【答案】设A 是一个反对称实矩阵.
是
的一个根，则有非零向量
为线性方程组
则由于
的解向量. 证明：
故
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