2018年首都经济贸易大学统计学院914概率论之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由
.
，移项即得结论.
2． 设
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
的特征函数，由唯一性定理知各以
的概率取值
且假定
与相互独立. 令
证明:
所以由
诸
的相互独立性
得
的特征函数
为
由此可得马尔可夫条件
【答案】因为
3． 设随机变量独立同分布，且
4． 设
（1）
（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以（2）因为
且X 与Y 相互独立，所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式
考虑到而
5． 设
也是一个分布函数.
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因
为
于是
（2）有界性. 对任意的X ，有
都是分布函数，故
当
时，
有
所以
故有
即X 与Z 不独立.
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明
:
且
（3）右连续性.
6． 设
是来自两参数指数分布
的样本，证明
是充分统计量.
【答案】由已知，样本联合密度函数为
令
由因子分解定理，
的充分统计量•
且X 与Y
7． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则
【答案】记这正是二项分布
因为
的特征函数，由唯一性定理知的方差为
所以由X 与Y 的独立性得
8． 证明:容量为2的样本
【答案】
二、计算题
9． 设
（2）寻求（3）证明【答案】（1）
是来自二点分布
的无偏估计； 的无偏估计不存在.
是
的一个直观估计，但不是
的无偏估计，这是因为
由此可见（2）
是
是的无偏估计.
的直观估计，但不是
的无偏估计，这是因为
由此可见
（3）反证法，倘若
是
的一个无偏估计. 是
的无偏估计，则有
或者
上式是P 的
次方程，它最多有
个实根，而可在
取无穷多个值，所以不论取
的一个样本，
（1）寻求的无偏估计；
什么形式都不能使上述方程在上成立，这表明的无偏估计不存在.
10．从n 个数1，2，…，n 中任取2个，问其中一个小于k （l 【答案】从n 个数中任取2个，共有n 分成三组:第1组=相当于将1, 2, …， 种等可能的取法. 而其中一个小于k 、另一个大于k ，第2组 = ，第3组= 种取法. 于是所求事件是从第1组中任取1个且从第3组中任取1个，这共有