2018年首都经济贸易大学统计学院914概率论之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设和方差,
（2）当
【答案】 （1）由由于X 的概率密度为
所以
由此证得（2）由
由于
, 所以
知从而将①, ②代入
可得
① ②
与
相互独立知,
与
也相互独立, 从而
①此外, 由
是来自总体x 的简单随机样本,
, 证明:
相互独立知,
也相互独立,
所以
时,
分别为样本的均值
（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,
从而得到目的最大似然估计量为
2． 设
也是一个分布函数.
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明
:
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因
为
于是
（2）有界性. 对任意的X ，有
都是分布函数，故
当
时，
有
且
（3）右连续性.
3． 设
令证明:且
服从
则
相互独立，
相互独立，服从
【答案】令
再令则
所以变换的雅可比行列式为:
计算该行列式，可得
因为，
把雅可比行列式代入上式可得
由此可知
4． 任意两事件之并
相互独立，且服从
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
5． 令【答案】
6． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,
有
【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有
7． 证明公式
【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出
而对
对
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
表示服从二项分布的随机变量，试证明:
.