2017年北京林业大学理学院601数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：函数
【答案】因为
只要
在上一致连续，所以
，就有
从而
用反证法. 函数
在上不一致连续可表述为：
尽管
应地存
在
2． 证明域
使得
满
足
矛盾.
在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是：对任意在，所以
收敛于f.
充分
性
当
上所有点时，
取所以
3． 设
【答案】因为
所以
在区间上一致连续的充要条件是： 只要
就有
对上述
由
此即为
但
显然
，
取
可知
相但
存在的一个邻
上一致收敛于f. 总存在
的一个邻域而由已
知
时，
和I 的一个内闭区间[a, b]，
使得
在
上一致
在[a, b]上一致收敛于f ，因此
使
得
有
在
【答案】
必要性
上一致收敛于f. 从
而
显然，当取遍[a，b]
覆盖[a, b].由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b].不妨设
，有
则当n>N时，
在I 上内闭一致收敛于f.
在[a, b]上一致收敛. 由[a, b]的任意性，得
. 证明：
4． 设函数项级数在D 上一致收敛于
【答案】不妨设存在
对任意
在D 上一致收敛于
对任意
有
函数
因
均有
在D 上有界，证明级数
在D 上一致收敛于
从而，对任意
故
存在N>0, 当n>N时，对任意
所以
5． 证明函数
在D 上一致收敛于在区间
. 上一致连续.
从而
在区间
上不一致连续，但是对于任意a>0, 在
则
【答案】(1)
方法一取
上不一致连续. 方法二
取
则存
在
但是存在
上不一致连续.
(2) 当
时，
当使得
取
从而
虽然满
足
在区间
’时，有
取即
时，有
上一致连续.
6． 证明：(1) f 为区间Ⅰ上凸函数的充要条件是对Ⅰ上任意三点
(2) 为严格凸函数的充要条件是【答案】
恒有
因为函数的充要条件是
所以
由此可知，为凸函数的充要条件是
为严格凸
二、解答题
7． 设函数下，方程
在区间内连续，函数
在区间内连续，而问在怎样的条件
能确定函数
并研究例子：
【答案】设
故由教祠(i )
设由于
8． 设
（2）对
可找到相应的N ，这是否证明了趋于0? 应该怎样做才对；
由
设
即可. 所以，当
当
这个不等式成立的一个充分条
时，相应的时，相应的
求得
则当
定
这样才能证明
时
，
（1）对下列分别求出极限定义中相应的N :（3）对给定的是否只能找到一个N? 【答案】（1）对任意件为
当
即
因此取时，相应的
注意2知，
若
由于
都在R 上连续，且
可确定函数
故方程
不能确定函数
所以
又
故由上面的结论知方程
即存在点
，
满足
就可在
附近确定隐函数
显然
在上连续
.
（2）在（1）中对义，
对任意正数
都找到了相应的N. 这不能证明趋于0, 应该根据数列极限
都找到相应的N. 对于本题，
由
（3）对任意的正数若存在N ，使得当n>N时，都有
也成立. 因此，对给定的
9． 设y=y（x ）是可微函数，求
，若能找到一个N ，则可以找到无穷多个N. 其中
【答案】将已知等式两边对x 求导得
将x=0代入，可解得y （0）=0, 再将x=0代入，得
10．指出下列函数的间断点并说明其类型：