2017年北京师范大学数学科学学院717数学教育综合(数学教学论150分数学分析85分高等代数65分)考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】因
时，有
令
收敛，且
，
在
在
上一致连续，证明
=0.
使得当
且
上一致连续，故对于
则由积分第一中值定理得，
使得因对上述的
当取
存在时，
则当收敛，故级数
使得
时，因
故存在惟一的
使得
易见
且
2． 设那么
3． 设函数得
【答案】由
证明：若对任何正数
那么
有
设
则a=b.
则
取
因为
从而
收敛，从而
即
也即
故
【答案】用反证法. 假设
不成立. 这与题设矛盾，故a=b. 在含有
的某个开区间内二次可导，
且
定理得，对
有
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则存在使
而
故有
令
则有
即
4． 设f 为定义在
上的连续函数，a 是任一实数，
证明E 是开集，F 是闭集. 【答案】对任一点存在
的某邻域
故E 为开集. 下证F 是闭集.
设且
是F 的任一聚点，则存在F 的异点列在连续，从而
可见
使
故f 为闭集.
由
使当
因为f
在连续，从而由连续函数的保号性知，
时
即
从而
二、解答题
5． 求下列全微分的原函数：
【答案】(1) 因(2) 由于
故原函数为
故原函数为
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6． 根据图写出定义在上的分段函数和）的解析表示式
.
图
【答案】由直线的点斜式方程容易得到：
7． f (x ) 是以
(1) 求函数
为周期的连续函数，其傅里叶系数为
的傅里叶系数
(2) 利用题(1) 的结果证明帕塞瓦尔(Parseval ) 等式
【答案】⑴(2) 由题(1) 得
在G (x ) 中令
得
即
8． 求级数
【答案】方法一 令
由逐项积分定理得
令
则由(1) 式得
的和.
，容易求出此幂级数的收敛半径R=l，
且
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