2017年黑龙江大学中俄学院(中俄联合研究生院)820高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1．
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
所以f 为正定的.
2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
则A 与B （ ）.
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
3． 设均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）.
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
4． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
使AB=0, 则（ ）
.
可得矛盾，从而否定A ，故选
C.
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
二、分析计算题
6． 设A , B 为n 阶方阵，且
【答案】由于E-A-B 可逆，所以有
因此有
又因为所以
由式（1）、式（2）得
由题设知A ，B 具有对称性，所以 7． 设
则子空间
可逆，证明：rankA.=rankB..
所以A （E-A ）=0, 故有
与是欧氏空间V 的两组向量. 证明：若