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一、选择题

1． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

2． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

时，

由AB=0, 用

右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

使AB=0, 则（ ）

.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

秩

未知量个数，

则A 与B （ ）.

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

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使

其中

故A 〜B. 再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

因此A 与B 合同.

4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

从而否定A ,

若选

从而否定C ,

中选三个向量组

二、分析计算题

6．

4

为有限维欧氏空间的一个标准正交组，

对

是V 的基. 【答案】设由

生成的子空间为

即

所以

又

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均有

设

那么

所以由即 7． 设

（1）证:

所以

知从而

为V 的基：

结合正交组线性无关知

是V 的线性变换组成的线性空间，

构成M 的子空间，

则

（2）求N 的维数及一组基. 【答案】（1）显然零变换属于N , 即

所以即N 是M 的子空间.

则

使

M

同构于矩阵空

间

因

为

（2）取V 的一组基，设

其中

设令

则有

记则DT=TD.

因此，

即

由M 与Pran 同构知

所以

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