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一、计算题

1． 以X 记某医院一天内诞生婴儿的个数, 以Y 记其中男婴的个数. 设X 与Y 的联合分布列为

试求条件分布列P （Y=m|X=n）. 【答案】先求X 的边际分布列

所以X 服从参数为14的泊松分布. 由此得

这是二项分布b （n , 0.51）.

2． 设总体概率函数如下，

（1）（2）（3）

【答案】（1）不难写出似然函数为

对数似然函数为

将之关于求导并令其为0得到似然方程

解之可得

是样本，试求未知参数的最大似然估计.

而故

的最大似然估计.

（2）此处的似然函数为

它只有两个取值：0和1，为使得似然函数取1，的取值范围应是而的最大似然估计可取

（3）由条件，似然函数为

要使

尽量大，首先示性函数应为1，这说明

的最大似然估计应为

其次

要尽量小，

中的任意值. 这说明MLE 可能不止一个.

因

综上可知，的最大似然估计应为

3． 设随机变量X 服从正态分布概率之比为7:24:38:24:

7.

试求实数a ，b ，c ，d 使得X 落在如下五个区间中的

【答案】由题设条件知

所以 （1）由

于

由此得a=55.56.

（2）由

于

由此得b=58.5.

（3）由（4）由

查表得查表得

由此得c=61.5. 由此得d=64.44. 即

因此查表

得

即

因此查表

得

4． 设随机变量X 和Y 独立同分布, 且

试求

【答案】利用独立性可得

5． 设有两工厂生产的同一种产品，要检验假设产品各抽取绝

个及

它们的废品率相同，在第一、二工厂的

个，分别有废品300个及320个，问在5%水平上应接收还是拒

【答案】这里样本量很大，可采用大样本近似，以A 分别表示两个工厂的废品率，则在下，总废品率为

检验统计量为

此

在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0，1），故检验拒绝域为处.

故

由于

故不能拒绝原假设，此处经计算，检验的p 值近似为0.1040.

6． 设总体X 服从二项分布B （m , p ），其中m ，p 为未知参数，m 与p 的矩估计.

：为X 的一个样本，求

【答案】因为有两个未知参数，所以要用1，2阶原点矩. 由二项分布可知

解方程组

将第一式代入第二式，有：

所以

用

分别代入上式的

得

代入第一式，得

因为m 为正整数，故

其中[]表示取整数.

7． 若随机变量

【答案】方程

而方程

无实根的概率为0.5，试求

无实根等价于16-4K<0，所以由题意知