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一、解答题

1．

已知三元二次型

（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,

即值

，

由征向量.

因为

是

的特征向量.

是

1的线性无关的特

，由此可知

是A 的特征

其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足

其中

可知-1是A 的特征值

，不正交，将其正交化有

再单位化，可得

那么令

则有

（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,

得

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2． 已知方程组量依次是

（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】

的基础解系

.

有无穷多解，矩阵

A

的特征值是

1, -1, 0, 对应的特征向

当a=-1及a=0时

，方程组均有无穷多解。

当a=-l时

，

则当g=0时

，则值的特征向量.

由

知

线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征

（Ⅱ）

3． 设

二次

型

（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ）求【答案】（Ⅰ）由

知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.

为标准形，并写出所用正交变换；

矩

阵A 满足AB=0,

其

中

知

的基础解系，

即为

的特征向量

记

值（至少是二重），

则是

的线性无关的特征向量.

由此可知，是矩阵A 的特征

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根据

值是0, 0, 6.

设

有

对

有

的特征向量为

解出

正交化，

令

则

故知矩阵A

有特征值因此，矩阵A 的特征

那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，

再对

，单位化，得

那么经坐标变换

即

二次型化为标准形（Ⅱ）因为

又

有

所以由

进而

得

于是

4． 已知A 是3阶矩阵

，

（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：

（Ⅲ）求秩

【答案】（Ⅰ）由于

令

因

线性无关，故P 可逆.

是3维线性无关列向量，且