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一、解答题

1． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与由

的解.

对

得到

所以矩阵

的基础解系为

则既可由

对

作初等行变换，有

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

其中t 为任意常数.

线性表出，也可

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

贝腕阵

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

线性表出，

故可设

于是

2． 证明n

阶矩阵

与相似.

【答案】

设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，

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故A 的n 个特征值为

且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且

所以B 的n 个特征值也为

=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1

重特征值

对于n-1重特征值

由于矩阵（

0E-B ）

的特征向量应该有n-1

个线性无关，进一步

矩阵B 存在

n 个线性无关的特征向量，即矩阵

B 一定可以对角化

，且从而可

知n

阶矩阵

与相似.

3． 设

A 为

的解为【答案】由

矩阵且有唯一解. 证明

：矩阵

为A 的转置矩阵）.

易知

为可逆矩阵，

且方程组

只有零解.

使.

所只有零

有惟一解知

则方程组

.

即

即有

可逆.

利用反证法，

假设以有

解矛盾，故假设不成立，

则

由

.

得

4． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明：（Ⅱ）设【答案】（Ⅰ）由同特征值的特征向量，故

求

有非零解，即存在

于是方程组

有非零解，这与

是

3维非零列向量，若线性无关；

且

线性无关.

令

非零可知，是A 的个

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又令即由

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

即

故

二、计算题

5． 求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：

（1

）

（2

）

（3

）

【答案】⑴