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一、解答题

1．

已知

且

.

求

又

又

知

即

2． 求个齐次线件JTP

技使它的场础解系由下列向量成.

【答案】由题意，

设所求的方程组为

由这两个方程组知，

所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为

3．

已知矩阵

可逆矩阵P ，使

和

若不相似则说明理由.

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出故所求的方程组可取为

解得此方程组

将

代入得，

构

得

故

知

故

【答案】

由题意知

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A

的特征值是由矩阵B 的特征多项式

得到矩阵B

的特征值也是当时，由秩

知

A 可以相似对角化.

而

有2个线性无关的解，

即时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

时矩阵B 只有1个线性无

只有1个线性无关的解，即

关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.

4． 设A

为

矩阵

且有唯一解. 证明：

矩阵

的解为【答案】

由

利用反证法，

假设以有

解矛盾，故假设不成立，

则

由

.

得

有

有惟一解知

则方程组

. 即

即

可逆.

为A 的转置矩阵）.

易知

于是方程组

为可逆矩阵，

且方程组

只有零解.

使

.

所

只有零

有非零解，即存在

有非零解，这与

二、计算题

5．

设0,

故

6．

设

证明A 的特征值只能取1或2.

是

的特征值. 但是，零矩阵只有特征值

则A=1或A=2. 线性无关

，

线性相关, 求向量B 用

线性表示的表示式.

使

【答案】设A 是A 的特征值，

则

【答案】

方法一、因

因线性无关，

故

线性相关，

故存在不全为零的常数

，不然，由上式得

，这与

不全为零矛盾. 于是得

方法二、

因关.

又因

线性无关，

故

线性相关，故

，于是存在使

线性相关，即

线性相

7．

设是m

阶矩阵的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.

特征向量

有

【答案】根据特征值的定义证明.

设A 是矩阵AB 的任-非零特征值

，是对应于它的特征向量.

即有用矩阵B 左乘上式两边，

得若再由

则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明

.

式得

因此

且

由题意知

存在，有

求B. 得，

由

知

得于是

9．

写出四阶行列式中含有因子位于第2列和第4列，

即

和

或

的项. 和

注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2, 故

而

事实上，由

8． 已知矩阵A

的伴随阵

【答案】

先由

故

来确定

再化简所给矩阵方程

【答案】由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别此行列式中含有

的项为

10．求下列齐次线性方程组的基础解系：

（1

）

（2

）（3

）【答案】⑴