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一、解答题

1．

已知通解是

.

, 证明

【答案】

由解的结构知

是4阶矩阵，其中

是齐次方程组

故秩

是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.

又由

得

因

与

可知综上可知

，

2．

设矩阵

有

即故

都是

的解.

由

线性无关.

由

是

得的基础解系.

那么

求一个秩为2的方阵B. 使

【答案】

令

即

取.

进而解得的另一解为则有

.

的基础解系为：

方阵B 满足题意.

令

3． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

由

贝腕阵的列向量（即矩阵

A

的行向量）是齐次线性方程组的解.

对

作初等行变换，有

得到

所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

对

线性表出，

故可设

作初等行变换，有

于是

则既可由

线性表出，也可

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

4． 设三阶方阵A 、B

满足式

的值.

其中E 为三阶单位矩阵.

若

求行列

其中t 为任意常数.

【答案】

由矩阵

知则

. 可

逆.

又

故

即

所以

即

而

故

二、计算题

5．

已知

是矩阵的一个特征向量

（1）求参数a ，b 及特征向量P 所对应的特征值； （2）问A 能不能相似对角化? 并说明理由. 【答案】（1）利用特征值和特征向量的定义. 设P 所对应的特征值是A , 则由题设

，

即

于是，

得到以

为未知数的线性方程组：

（2）A 不能相似于对角阵. 理由是：

当

故

是A 的三重特征值.

但

没有3个线性无关的解. 于是，矩阵A

对应于特征值阵相似于对角阵的充要条件知，A 不能相似于一个对角阵. 6．

设

【答案】

求一个可逆阵P ，使PA 为行最简形.

时. 容易求得矩阵A 的特征多

项式

从而

故齐次方程

没有3个线性无关的特征向量. 由方

故并且A 的行最简形为

7．

设D 的（i , j

）元的代数余子式记作求

【答案】