2017年中南大学数学与统计学院883高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1．
求函数向的方向导数。
【答案】因为
所以
2． 求锥面
【答案】
在
在点
处沿方向角为
的方
与柱面所围立体在三个坐标面上的投影.
，
即
，故立体在
中消去z ，得
xOy 面上的投影为
而该立体在zOx 面上
的投影为
（如图所示）.
，在yOz 面上的投影
为
（如图所示）
.
图
3． 当时，无穷小和是否同阶？是否等价？
，同阶，不等价。
，同阶，等价。
【答案】（1）（2）
4． 求函数
【答案】
在点（0, 0）的三阶泰勒公式。
于是
又
将以上各项代入三阶泰勒公式，便得
其中
5． 溶液自深18 cm 顶直径12 cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液. 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速率为1 cm/min，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?
，圆柱形筒中水深为h=h（t ）【答案】如图，设在t 时刻漏斗中的水深为H=H（t ）。
建立h 与H 之间内的关系：
又
即
，即
，故
，
上式两端分别对t 求导，得
当H=12时，
，此时
6． 设向量的方向余弦分别满足（1）与坐标轴或坐标面的关系如何?
【答案】（1）由（2）由（3）由
，知α=
，故向量与x 轴垂直，平行于yOz 面.
，故向量垂直于x 轴和y 轴，即与z 轴平行，垂
知β=0，故向量与y 轴同向，垂直于xOz 面.
，知α=β=
；（2）；（3），问这些向量
直于xOy 面.
7． 己知制作一个背包的成本为40元, 如果每一个背包的售出价为x 元,
售出的背包数由
给出, 其中a , b 为正常数。问什么样的售出价格能带来最大利润?
【答案】设利润函数为p （x ）, 则