2017年中山大学工学院602高等数学(B)之高等数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、填空题
1． 微分方程
【答案】【解析】
又因为y=1时x=1，解得C=0，故x=y。
2
满足初始条件
的解为_____。
为一阶线性微分方程，所以
2． 设
【答案】【解析】由
，其中a ，b 为常数，则
知
_____。
3． 设
为球面
且球
面
至少关于
某个变量是
关于三个坐标面都对称，而
奇函数，因而有
4． 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论:
设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某邻域内有定义，且则有（ ）.
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则_____。
【答案】
【解析】因
为
，，
曲面曲线曲线【答案】（C ）
【解析】函数f （x ，y ）在点（0，0）处的两个偏导数存在，不一定可微分，故（A ）不对. 由于函数存在偏导数不能保证可微分，从而不能保证曲面z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在切平 面，因而（B ）不对; 若z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在连续偏导数，曲，而不是（3，-1，1），故（B ）也不对. 面在该点处有切平面，其法向量是（3，-1，-1）
取x 为参数，则曲线x=x，y=0，z=f（x ，0）在点（0，0，f （0，0））处的一个切向量为（l ，0，3），故 （C ）正确. 5． 已知三向量a , b , c , 其中
【答案】±27 【解析】由题设知
由于
，则
c ∥（a ×b ）
6． 设
为曲面
和平面z=1围成的空间体，则
的形心的z 坐标
_____。
a 与b 的夹角为
，
，则
=_____。
在点在点在点
的一个法向量为
的一个切向量为
的一个切向量为
【答案】【解析】
7． 过点P （-1, 0, 4）且与平面方程是_____。
【答案】
平行的平面方程是
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平行，又与直线L ：相交的直线
【解析】解法一:过点P （-1，0，4）且与平面
即
此平面与直线
和
，因此所求直线方程为
解法二：本题也可如下解法： 过点P （-1, 0, 4）且平行于平面过直线
的平面束方程为
把p （-1, 0, 4）的坐标代入上式得则
8． 当a=_____, b=_____时微分。
【答案】【解析】若要使满足
则 9． 设曲线
【答案】216π 【解析】
解法一：再用参数方程化为定积分：
解法二：为了去掉绝对值，把C 分成两段：配上坐标轴部分，分别构成闭曲线
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的交点为，
所求的直线过点
的平面方程为
因此过P 点和直线L 的平面方程为 10x-4y-3z+22=0
为所求。
恰为函数
恰为某函数的全微分，则需满足，解得
则
。
。结合题意知，需要
_____的全
，取逆时针方向，则_____。
则有
，分别位于上半平面与下半平面，并
，均为逆时针方向，见下图。
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