2017年中国石油大学(华东)理学院842高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm ，试求它每面所受的压力。
0.6]，【答案】如图设立坐标系，取三角形顶点为原点，取积分变量为2，则z 的变化范围为[0，，因此OB 的方程为易知B 的坐标为（0.06, 0.04）
。
，故对应小区间[x，x+dr]
的面积近似值为
图
记γ为水的密度，则在x 处的水压强为
2． 过点
（
）分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均
，故压力为
的点的坐标各有什么特点?
【答案】如图所示，过相同，纵坐标也均相同.
而过点
且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.
图
3． 把抛物线y 2=4ax及直线x=x0（x 0>0）所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转题的体积。
【答案】该体积即为
，x=x0及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得，因此体积为
4． 求面密度为
【答案】
的均匀半球壳对于z 轴的转动惯量。
5． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
【答案】（1）原方程可以表示成伯努利方程令
则
且原方程化为一阶线性方程
即
解得
将x=1, y=1, 得
（2
）令
代入上式。得
故所求特解为
则原方程化为
代入初始条件
得
代入初始条件（3）在方程于是
代入初始条件故有取
分离变量并积分代入初始条件
得得
故所求特解为
因
即
不
即
得
并因
时，
故上式开方后
得C 2=0.故所求特解为两端同乘以
则有
即
即原方程的通解为
分离变量并积分
从而有
于是
得
即
有初始条件
（4）由原方程对应齐次方程的通解为是特征方程的根，故
令
比较系数得并有代入初始条件即
故所求特解为
故
有
是原方程的特解，并代入原方程，
得且原方程的通解为
6． 半径为r 的球沉如水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？
【答案】取x 轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x 为积分变量，则x 的变化