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一、计算题

1． 设

为取自两点分布b （1, p ）的随机样本.

的水平

的检验.

（1）试求单边假设检验问题

【答案】 （1）检验的拒绝域的形式为

在n 给定后，具体的c 值可通过编程计算得到. （2）第二类错误的概率

因此，（n ，c ）可由下面的不等式组决定:

具体的值可由编程搜索得到.

编程的想法是:让n 从1开始，对每一给定的n 看是否存在一个c 满足上述不等式组要求（该过程可如下进行:

先找到满足

在MA TLAB 中，获取这个c 的语句为然后将此时的（n ，c ）代入验算不存在）.

若存在，则n 即为所求，若不存在，则让n=n+l，直至找到满足不等式组要求的c , 如此找到的n 即为满足两类错误概率要求的最小的n.

本例中，通过编程搜索可得最小的n=65（此时对应的c 也可求出，此处为c=2）, 此方案下对应的第一类和第二类错误的概率分别为:0.0276和0.0991，注:该问题常称为抽样检验问题.

的c ,

，

是否成立，成立则c 存在，否则

，

（2）若要这个检验在p=0.08时犯第二类错误的概率不超过0.10, 样本容量n 应为多大？

，其中c 满足以下两式:

2． 设总体X 的密度函数为机样本，求的置信水平为

，其中的置信区间.

为未知参数，为抽自此总体的简单随

【答案】由指数分布和伽玛分布的关系知，根据伽玛分布的性质，

从而

.

因此可得的置信水平为

的置信区间为

3． 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数

试由这批数据构造经验分布函数并作图. 【答案】此样本容量为10, 经排序可得有序样本:

其经验分布函数

其图形如图所示

.

图

4． 验证:泊松分布的均值的共轭先验分布是伽玛分布.

【答案】泊松分布的概率函数为其密度函数为对来自泊松分布

的样本

，

的后验分布为

，若的先验分布为伽玛分布，

即的后验分布为

的共轭先验分布.

5． 设随机变量X 的密度函数为

试求k ，使得【答案】因为

6． 设随机变量X 与V 相互独立，且

试证:

与

相互独立，且

【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为

下求

的联合密度函数，因为

的反函数为

，由此解得

.

，仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值

且变换的雅可比行列式为

所以，当

时，有

可见

可分离变量，故U 与V 相互独立，其中