2018年华中农业大学动物科学技术学院、动物医学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1. 设
是来自拉普拉斯
分布
的样本,试给出一个充分统计量. 【答案】样本的联合密度函数为
取
由因子分解定理,
2.
设随机变量
【答案】(1)(2)
(3)因
为
,
进而有
3. 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布
试求X 的特征函数. 【答案】
设
的特征函数为其中
又因为
是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p
的几何分布
所以X 的特征函数为
4. 设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5, 现从中抽取一个容量为4的样本,试分别求
【答案】由古典概率可得
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为的充分统计量. ,(1)求
;(2
)求
;(3)确定c
使得
,所以由题设条
件
. 由此得c=3.
得
和的分布.
这就给出了
的分布列
表
1
类似地,从而
这就给出
的分布列
表
2
5. 设随机变量X 仅在区间
上取值,试证:
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p (x )为X 的密度函数,因为
同理可证:
. 由上题的结论知
注:此命题表明有界随机变量的数学期望和方差总是存在的.
6. 某单位招聘员工,共有10000人报考. 假设考试成绩服从正态分布。且已知90分以上有359人,60分以下有1151人. 现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人,试问被录用者中最低分为多少?
【答案】记X 为考试成绩,则
,由频率估计概率知
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上面两式可改写为
再查表得
由此解得
. 设被录用者中最低分为k ,则由
查表得注:当
时,满足等式
故改写此式为
,从中解得
,因此取被录用者中最低分为78.75分即可.
的茗在标准正态分布函数表上不易查得, . 即可查得-x.
7. 某射手命中10环的概率为0.7, 命中9环的概率为0.3. 试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率.
【答案】记X 为三次射击中命中10环的次数,则环”相当于“射击三次至少二次命中10环”,故所求概率为
8. 设随机变量
的联合分布列为
表
. 因为“所得的环数不少于29
试求
【答案】由定义可知
的数学期望
二、证明题
9. 设总体为
证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程
为样本,
都是的无偏估计,并比较它们的有效性. 得
是的无偏估计,且
的均值与方差,
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因而
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