2017年首都师范大学应用统计,金融统计,数学教育统计之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 写出下列二次型的矩阵：
（1）
【答案】⑴记故f 的矩阵为
则
（2）与（1）相仿，
故f 的矩阵为
2． （1）设
（2）设
求
求
【答案】因A 是对称阵，故正交相似于对角阵 ⑴由
求得A 的特征值为对应
解方程（A-E ）x=0，由
得单位特征向量
对应
解方程（A-5E ）x=0，由
得单位特征向量令
则P 是正交阵，且有
（2）这是求矩阵A 的多项式的问题.A 的特征多项式
于是A 的特征值
因为A 是对称阵，则存在正交阵也即
其中
这样，只需计算出
即对应
解方程（A+E）x=0，由
得单位特征向量
代入（1）式，即求得
3． 举例说明下列各命题是错误的：
（1）若向量组（2）若有不全为零的数
线性相关，
则可由
，
使
使
并且Q 的列向量是对应特征值的单位特征向量，i=l，2, 3. 从而有
的单位特征向量，代入上式即得
线性表示.
成立，
则线性相关，
（3
）若只有当
线性无关，（4
）若
亦线性相关. 全为零时，
等式亦线性无关.
线性相关
，
亦线性相关，
则有不全为零的数
同时成立.
使
才能成立，
则
【答案】命题（1）是错误的，反例I 取向量它含有零向量，但
并不能由线性表示.
命题（2）是错误的，反例：
取
成立，但
命题（3）是错误的，反例：取此时若有和向量组
都线性相关.
线性无关，
，则向量组线性相关，因
再取
也线性无关.
成立，
只有
，
则有
，
但向量组
命题（4）是错误的，反例：
取
均线性相关. 但对此两向量组+存在不全为零的数
同时成立，因由上而第一式可得
于是，
，同理由第二式得
证明：
，使
，则向量组和向量组
4． 设n 阶矩阵A 的伴随阵为
（1）若
（2）【答案】⑴因
要证与
则
当
时，上式成为
是可逆矩阵，用
左乘上
此
的所有元素均为零. 这导致
用反证法：
设由矩阵可逆的充要条件知.
时，结论成立；
式等号两边，得A=0.于是推得A 的所有n-1阶子式，亦即
为可逆矩阵矛盾. 这一矛盾说明，当（2）分两种情形： 情形1:情形2:于是
由（1）,
在两边取行列式，得
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