2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之高等代数考研题库
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一、选择题
1． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
3．
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
则线性方程组（ ）•
【答案】D 【解析】
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
二、分析计算题
6． 设线性方程组
与方程
有公共解，求a 的值及所有公共解.
【答案】解法1:因方程组（1）与方程组（2）有公共解，即如下联立方程组（3）有解
对方程组（3）的增广阵
施以初等行变换，有
由于方程组（3）有解，故其系数阵与増广阵等秩，于是当a=l时
因此，方程组（1）与方程组（2）的公共解为当a=2时
因此，方程组（1）与方程组（2）的公共解为
即&=1或3=2.
其中k 为任意常数.