2017年哈尔滨师范大学数学科学学院843概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量
【答案】记
则
所以
另一方面，
这就证明了
2． [1]设随机变量
[2]设
【答案】利用变换
，求
，证明：
及偶函数性质可得
[2]在题[1]中令
即可得结论.
对一切的
存在，
3． 设X 与Y 是独立同分布的随机变量, 且
试证:
【答案】
4． 设X 为非负随机变量，a>0.若
【答案】因为当a>0时，
5． （伯恩斯坦大数定律）设
证明:
【答案】
记
所以
由的任意性知
所以由马尔可夫大数定律知
6． 总体
（1）证明
服从大数定律.
为取自该总体的样本，为样本均值.
存在，证明：对任意的x>0，有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
是方差一致有界的随机变量序列, 且当
任
对
存在M>0,
当
时,
一致地有
时,
有
服从大数定律.
其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
则
从而
于是，
这说明
是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为
显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围
为因而θ的最大似然估计为
下求
的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为
故
从而
这说明
不是θ的无偏估计，而是θ的渐近无偏估计. 又
因而
是θ的相合估计.
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
【答案】己知则
对任意的
由切比雪夫不等式得
即
, 结论得证.
是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，
试
7． 设随机变量序列证:
8． 设
（1）（2）（3）
在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？