2018年南京农业大学理学院628数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:函数
在点（0, 0）连续且偏导数存在, 但偏导数在点（0, 0）不连续, 而f 在点（0, 0）可微. 【答案】当
时
当
时
但由于因此当
时
,
的极限不存在, 从而
在点（0, 0）不连续, 然而
所以, 在点（0, 0）可微且
不存在（可考察y=x情况）,
在点（0, 0）不连续.
同理可证因此f 在点（0, 0）连续.
2． 利用级数收敛的必要条件，证明下列等式:
（1）
（2）
考察正项级数
的收敛性，因为
所以（2）设
从而级数
收敛. 由级数收敛的必要条件知
考察正项级数
的收敛性，因为
所以
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【答案】 （1）设
从而级数收敛. 由级数收敛的必要条件知
3． 证明:
黎曼函数
在
[0,
1]上可积.
【答案】
由黎曼函数的性质, 个,
记为
, 在[0, 1]上使得
的点至多有有限个, 不妨设是k
作[0, 1]的分割T :,
使其满足
由于
而在上式右边第一个和式中, 有
, 所以有
由第二充要条件, 黎曼函数在
[0, 1]上可积.
4
． 按
（1）（2） （3）
（4）（5）
【答案】（1）由于
故对任意的（2）不妨设
只要取. 则
对任意的
只要取
则当
时, 有
, 则当
时,
这就证明了:
定义证明:
且
; 在第
二个和式中,
有
且
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（3）
由于
对任意的
（4）由于
只要取
则当
对于任意的
时, 有只要取
, 故则当
（5）因为
令
由
得
对于任给
取
则当
故 5．
设
,
证明:
【答案】原不等式等价于
取的凸函数. 若记
即
亦即
6． 证明下列数列极限存在并求其值:
（1）设（2）设（3）时成立,
则
由数学归纳法知
有上界2.
有上界2. 当
时,
显然成立, 假设
【答案】（1）先用数学归纳法证数列
, 则由
, 由凸函数的性质
f x ）可知, （是
上
时, 有 . 时
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