2018年南京信息工程大学数学与统计学院702数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明棣莫弗（deMoiwe ）公式
【答案】设
2． 设曲面z=f （x , y ）二次可微, 且充要条件是:
【答案】
为一条直线即由f （x , y ）=0所确定的隐函数y=y（x ）在xOy 平面上
, 而
. 故
由此可见, 命题成立.
3． 证明:若级数
【答案】假设若发散.
4． 将函数
【答案】由
逐项积分上式得
因为
及
在[0, 1]上连续.
收敛, 则
在[0, R]上一致收敛, 且
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代入欧拉公式得
. 证明:对任给的常数c , f（x , y ） =c为一条直线的
表示一条直线. 显然, y=y （x ）是一条直线<=>
发散，收敛. 因
.
也发散
则也发散.
收敛，这与题设
. 发散矛盾，所以
故级数
在x=0点展开为幂级数, 并证明此幂级数在[0, 1]上一致收敛.
根据定理“若, 还可以逐项积分, 即
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若和函数在上有界, 则收敛
可知级数
5． [1]证明:若数列
[2]证明:若数列（1）级数（2）当
（1）（2）（3）
【答案】[1]级数的前n 项和.
收敛; 再根据以上定理知幂级数在[0, 1]上一致收敛.
收敛于a ，则级数. 有
发散；
时，
级数
.
，则
[3]应用第[1][2]题的结果求下列级数的和
.
而，所以
即
[2] （1
）级数的前n 项和
则
（2）级数的前n 项和
即
[3]
（1）记（2）
记
. 则
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故级数发散.
，则
由第[1]题可得，原式=
.
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由第[1]题可得，原式=-（-1）-0=1.⑴=1 （3）
记b=n+1，，则由第[2]题可得，原式=
6． 证明
在
上一致连续.
, 由, 任取
,
且
在
, 设
, 则有
由
故f （x ）在
, 得
于是, 取上一致连续.
, 则当
时, 有
在[0, 1]上连续, 据一致连续, 有
对任给的知, f （x ）在
（2）证法二:设
,
可取
,
只要
,
就有
上一致连续.
由定义
上一致连续, 综上, 可知
2
【答案】（1）证法一:
定理知, f （x ）在[0, 1]上一致连续. 对
二、解答题
7． 设
其中A , a , b为常数, 试问A , a, b为何值时, 【答案】
故要使
又
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处可导? 为什么? 并求
存在, 必须