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一、证明题

1． 设证明:统计量

【答案】分几步进行: （1）若这是因为其中（2）若故

仅在

且的反函数当

则

上取值，所以当为连续严增函数，则也存在. 于是

当

时，

的分布函数为

所以

这是由于y 仅在

当

这是参数为1的指数分布函数，也是自由度为2的（3）由

由（1）与（2）可知

2． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立，

则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

3． 任意两事件之并

的特征函数，由唯一性定理知可表示为两个互不相容事件之并，譬如

【答案】⑴

（2）利用加法公式可得

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是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （X ）是连续严增函数，

服从

上取值，

时，有

相互独立，

分布函数，即

的相互独立性可导致

且X 与Y 独

（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明

4． 设

也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因

为

于是

（2）有界性. 对任意的X ，有

都是分布函数，故

当

时，

有

都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明

:

且

（3）右连续性.

5． 证明:对正态分布

，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在

时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大

似然估计不存在.

6． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布

试证明:【答案】设

相互独立. 则

所以

. 由此得

和

的联合密度为

所以

可分离变量，即U 与V 相互独立.

若

其中

则

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7． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布

则

【答案】二项分布因为

所以当

的特征函数为

时，

而正是泊松分布的特征函数，故得证.

相互独立，且都服从和

则

的密度函数为则

的密度函数为

上的均匀分布，试证明:

是相互独立的标准正态随机变量.

8． 设随机变量与

（1）（2）

【答案】（1）设所以当即所以当即（2）因为所以

时，

又设时，

所以由此得

又因为

所以

的联合密度函数为

这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.

二、计算题

9． 将一枚硬币投掷三次, 以X 表示三次中出现正面的次数, 以Y 表示三次中出现正次数与出现背面次数之差的绝对值, 试写出X 与Y 的联合分布律与边缘分布律.

【答案】由题意:X 可能取值为

的可能取值为1, 3; 则

即得X 和Y 的联合分布与边缘分布为

表1

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