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一、计算题

1． 设总体X 的密度函数为为取自X 的样本. 试求

, 其中

为未知参数,

的最大似然估计量和矩估计量.

【答案】由于似然函数为:

于是

由②可知,

关于单调增加, 即

.

. 令

.

关于单调增加, 又

①

②

,

故的最大似然估计为另外, 由①式得,

即得的最大似然估计量为因为

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于是令

即

解得故与的矩估计值为

2． 如果二维随机变量（X , Y ）的联合分布函数为

试求X 和Y 各自的边际分布函数. 【答案】因为

所以X 和Y 各自的边际分布函数为

可见，这两个边际分布都是指数分布，但这两个分布对应的随机变量不相互独立.

3． 从1, 2, 3, 4, 5五个数中任取三个，按大小排列记为

（1）X 的分布函数； （2）

.

•，所以X 的分布函数为

，令

，试求:

【答案】（1）因为X 的分布列为

（2）

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.

4． 设二维随机变量

（1）求（2）求

与

【答案】（1）由于因为

服从二维正态分布

的协方差及相关系数.

所以

所以

（2）因为

所以由又由对称性.. 这表明，当

得

所以得

时，

与

不相关.

5． 设9件产品中有2件不合格品，从中不返回地任取2件，求取出的2件中全是合格品，仅有一件合格品和没有合格品的概率各为多少？

【答案】仿抽样模型可得

6． 若

【答案】由

，试解:

，得

.

所以得

»

即

所以

9

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