2018年安徽工程大学数理学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
局部保号性:若函数域
内与【答案】设续, 所以存在
从而当当
时,
在点
连续, 而且
. 则函数使得对任意
取
时
任取
使得在其上
即
可见
在
上与
同号且
有
【答案】
,
由于f （x ）在[0, 1]上连续, 从而f （x ）在[0, 1]上有界, 即于是已知
有
,
故当
时有f （X ）=0
卿f （1）=0.从而
有f （x ）=0.
因为f （x ）在点x=l左连续, 所以
3． 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数. 证明:
【答案】两次应用洛必达法则得
在点的某一邻
同号, 并存在某个正数
则存在r , 使使得当
时, 有
因为在点处连
由上可知存在
, 则
2． 证明:若f （x ）在[0, 1]上可导, 且f （0）=0, 对
有
二、解答题
4． 设
（2）求【答案】（1）由于是（2）由得
用莱布尼茨公式对令x=0, 得
又
因
5． 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.
z , 则面积【答案】设三角形的三边分别为x , y ，此
其中因S
与
有相同的稳定点，考虑
解方程组
得
从而
又在D 的边界上的等边三角形, 面积
从而S 在
处取得最大值, 因而
，且
因
, 满足方程
, .
得
, 对上式两边再求导得
. 两边求n 阶导得到
, 从
而
其
中
.
；
得
两边对x 求导得. ,
. 对
两边对z 求导
,
. .
（1）证明函数y 满足方程
面积最大的三角形为边长为
6． 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为BC=akm的B 城如图, 轮船运费的单价是元/km, 火车运费的单价是元
/km省.
, 试求运河边上的一点M , 修建铁路MB , 使
的总运费最
图
【答案】设
, 则
, 总运费
由经检验
7． 设函数
【答案】构造函数:
可知,
连续且有界。但是
在
时非一致连续.
当
令
当n 足够大的时候
时,
在开区间在
内连续且有界, 试讨论内非一致连续.
在
内的一致连续性.
得
, 舍去负值,
, 故M 点距C 点的距离为
.
（km ）时总运费最省.
反证法:如果函数一致连续, 则对
出现矛盾, 所以原命题成立.