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一、证明题

1． 设

【答案】

因为

. , 所以

. 证明

.

,

于是

.

又因为

, 所以存在N , 当n>N时,

有

2． 证明:定圆内接正行边形面积将随n 的增加而增加.

【答案】设圆的半径为R , 则该圆的内接正n 边形面积

令

则

于是当

时

,

, 故f （x ）

在

上严格递增. 因此, 数列

严格递增. 即圆内接正

n 边形面积将随n 的增加而增加.

3． 证明:为有界函数.

【答案】

于是, 对于有界性定理知, 存在

故

, 存在

, 使得当

时. 对, 有

. 在[—M , M]上, 由连续函数的

. 于是, 对于一切

, 使得当

为有界函数.

c c

4． 证明:开集与闭集具有对偶性--若E 为开集, 则E 为闭集；若E 为闭集, 则E 为开集.

c c

【答案】（1）设E 为开集, 假设E 不是闭集, 则由闭集定义知, E 中至少有一个聚点不属于

E c 设这个聚点为A , 则必有, 使因为E 为开集, 所以存在点A 的某邻域U （A ）

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因此, U

c

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c

c

（A ）中不含有E 中的点, 这与A 是E 的聚点矛盾, 因此, 若E 为开集, 则E 为闭集.

（2）设E 为闭集, 假设E 不是开集, 由开集定义知E 中至少有一个点不是E 的内点, 设这个点为B , 则 根据内点的定义知, 对点B 的任何邻域U （B ）都有U （B ）不含于E 即U （B ）中含有E 中的点, 因此, B 为E 的聚点, 但与

是闭集矛盾, 因而, 若E 为闭集, 则E 为开集.

c c

c

c

c

二、解答题

5． 求下列积分

（1）（2）（3）【答案】⑴由M 判别法知

在[a, b]内一致收敛. 所以

（2）, p=l, a=0, b=x得

（3）因为

, 所以x=0不是函数

在

因此含参量非正常积分

故由（2）的结论有

6． 己知

为三维空间中的有界区域,

的边界为分段光滑的曲面,

于是有

为外法向量, u （x , y , z ）在

的瑕点,

上一致收敛,

（提示:可利用公式

）；

上连续可偏导. 求证

:【答案】不妨设

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7． 试问如何把定义在的形式:

（1）（2）

【答案】（1）将在即

上的可积函数f 延拓到区间

上定义的可积函数f 作延拓, 使

内, 使它们的傅里叶级数为如下

时, 满足

对上述延拓再作偶延拓,

使

上为偶函数, 且为满

足

故其傅里叶级数的形式为

（2）将f （x ）作一奇延拓,

使

及

且满足

时

,

从而

时满足

对该延拓再作一奇延拓,

使

上的可积奇函数,

故其傅里叶级数的形式为

8． 设函数f （x ）和g （x ）在[a, b]上可积, 则

【答案】

因

则

9． 应用拉格朗日乘数法, 求下列函数的条件极值:

（1）（2）

（3）

,

若

, 若x ＋7－1=0;

若

（其中x , y , z , t>0, f>0）;

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及

则此时所得的延拓函数在

的可积函数, 从

而

已

知

则此时所得的延拓函数是在

（n=0, 1, 2, …）, 已知