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一、证明题

1． 设

并且对于任何

, 则有

对上式两边同时求导, 得

即

于是对两边取转置又得

.

2． 区间上的连续函数如果在任何有理点为零, 证明:此函数恒为零.

【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为在有理点列

使得

可以证明对于任意的无理点, 函数值都为零, 对于区间上的任意无理点

则由函数的连续性可知

即证得在任意的无理点处函数值都为零.

又由己知函数在任何有理点为零, 故此函数恒为零.

3． 证明:（1）两个奇函数之和为奇函数, 其积为偶函数;

（2）两个偶函数之和与积都为偶函数; （3）奇函数与偶函数之积为奇函数. 【答案】（1）设令

与

是D 上的两个奇函数,

则

所以（2）设则

k （-x ）=f（-x ）g （-x ）= f（x ）g （x ）=k（x ）

所以（3）设

和

为D 上的奇函数,

都为偶函数.

为D 上的偶函数,

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有常数, 证明

【答案】设

存

是D 上的奇函数, 与

是D 上的两个偶函数,

是D 上的偶函数.

则

所以为奇函数.

，有

中，令

则

4． 通过对F （x , y ）=sinxcosy施用中值定理，证明对某

【答案】在

即

.

5． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理.

【答案】一致连续性定理:若函数f 在闭区间上连续, 则f 在[a, b]上一致连续. 因为f 在[a, b]上连续, 所以任给

取

任意

, 存在. 则H

是

对任意

, 有

,

不妨设

,

即

.

的无限开覆盖. 由有限覆盖定理, 从中可以选出有限个

开区间来覆盖[a, b].不妨设选出的这有限个开区间为

取当

时, 由于

.

对任意

因此

由一致连续定义, f 在[a, b]上一致连续.

6． 证明:若函数f 在区间上处处连续, 且为一一映射, 则f 在上严格单调.

【答案】用反证法. 先证明f 在上是单调的. 若不然,

则至少存在三个点

注意到f 在上连续, 对f 分别在区间

, 使得

再证明f 在上是严格单调的. 不妨设f

在上是单调递增的, 则对任意的, 故必有

7． 证明:若

有

. 注意到f 在上是一一对应

, 这表明f 在上是严格单调的.

为任何闭集, f :

且存在正实数

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满足和

但

, 而

而

. 由和

于f 是一一映射, 所以上述不等式为严格的, 即

上应用介值定理, 则存在

这与f 是一一映射相矛盾, 所以f 是单调的.

, 使得对任何

满足

则在D 中存在, 的惟一不动点即【答案】（1）不动点的存在性. 下面验证

满足柯西条件, 首先, 有

. , 因为f :

, 所以必有

于是对任意的正整数n , P, 有

即

当n>N时, 对任给正整数P , 有

, 又因为D 为闭集, 所以

由于

有

所以f 在D 上任何点x 0处连续, 从而

故

为f 的不动点.

的惟一性若也就是

满足:加括号后级数

符号相同，证明

【答案】因为所以

设故

又当

存在，即 9． 设

【答案】

所以f （x , y ）在点

, 则

. 证明f （x , y ）在D 上连续, 但不一致连续.

, 由极限的四则运算法则知

连续, 从而f （x , y）在D 上连续.

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, 故由定理可知数列收敛,

设

（2）不动点即

8． 设级数

为, 的另外一个不动点, 则

. 所以f 在D 上存在惟一的不动点.

收敛（m1=0）, 且在同一括号中的

亦收敛. 收敛，所以其中

又因为括号内符号相同，

则存在. 又对任意的n ，存在k ，使得

时必有从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.