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一、证明题

1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续:

（1）（2）【答案】（1）设

-的定义域是

对于任给的

, 限制

得

在其定义域内连续.

（2）f （x ）的定义域是R , 任取由

.

, 取

, 则当

时,

, 于

知, 对于任给的. 取

, 则当

时,

于是, f （x ）

, 因为f （x ）的图像关于原点对称,

, 由

所以只需对x>0的情形进行证明.

是, 在其定义域内连续.

2． 证明:设

则甶D 上无界的充要条件是存在

【答案】充分性 因为这说明时, 存在点

3． 设

【答案】因为

在D 上无界.

在D 上无界, 所以

有，证明:

这说明

有

所以

当

使时, 有

必要性 因为因此, 当取

所以

4． 证明:若的此,

（2）若在N , 使得以对一切

因此

为递增（递减）有界数列, 则

为递增有界数列, 根据确界原理,

因为

是递增的, 所以当于是,

当

时

,

有下确界. 令时,

即

时,

又问逆命题成立否? 有上确界. 令

即, 则对任给的又因为a 是

这个数列则对任给

又因为n 是

的. 因存

【答案】（1）若存在N , 使得

上界, 所以对一

切

为递减有界数列, 根据确界原理,

因为

是递减的, 所以当于是, 当n>N时.

的下界, 所

（3）逆命题不成立, 一个收敛到确界的数列, 不一定是单调数列,

例如收敛到它的上确界1, 但

不是单调数列.

二、解答题

5． 设函数

【答案】因为所以

6． 试作函数

【答案】

在区间

的图像. 是以

为周期的周期函数, 是一个奇函数, 它的定义域为R ,

值域为

上的表达式为

求它在点（a , b ，c ）的梯度.

它的图像如图所示

.

图

7． 计算第二型曲线积分

（1）L :（2）L :所以

沿逆时针方向;

的边界, 沿逆时针方向.

,

【答案】（1）L 的参数方程为

（2）

8． 计算三重积分与累次积分

（1）（2）

其中V 由

和

所确定;

【答案】（1）由于被积函数为, 因此可以把三重积分化为“先二重后一重”的累次积分, 又由区域V 用平行于 xy 平面的平面截得的是一个圆面, 即

从而

（2）应用柱坐标变换

9． 设

【答案】归纳法易知

即

求

有上界, 然后又因为

所以数列单调递增, 所以由单调有界定理知设

对

极限存在.

解

得

即

两边取极限

得