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一、证明题

1． 设

于

【答案】显然，由题设知

所以对一切n 都有

于是，当

即

递减，并且0是

的一个下界

.

即存在.

设

递增. 由

知

，

是在

得

所以

2． 设f (x ) 在

(1)

时，

上连续，满足：

由于f (x ) 在S 上连续，根据连续函数的性质，f (x ) 必在

和最小

值

3． 设n 为正整数，

用条件极值方法证明：

【答案】先求

设

甶条件

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记证明：数列

时，

与的极限都存在且等

的一个上界. 由单调有界定理知，的两边同时取极限，

得到

对

的极限都即a=b，

又由

两边取极限

得

(2) 对任意x 和正常数c , 求证：存在S 上

的

和

使得

【答案】考虑有界闭集

那么

点分别取到它在S 上的最大

值

所以

若

记

下的最小值.

令

解得由于当

4． 设在

【答案】令因此，g

为在

上

或

时，F 都趋于所以

上可微，且

则

上的递减函数. 于是，

证明：在因为.

上所以

故

故F 必在惟一稳定点

处有最小值，即

成立.

由此得

二、解答题

5． 计算

：

，其中为

中

的部分.

【答案】化简并利用高斯公式得

y

6． 求a 、b 使下列函数在x=0处可导：

【答案】由于函数在x=0处可导，从而连续；

由又由

7． 计算线积分

【答案】如图所示

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得到b=l: 得到a=0. 其中ABC 为三点

连成的折线.

所以

图

8． 回答下列问题：

(1) 对极限(2) 对(3) 对|

【答案】(1) 因为

因而

但是

即交换运算后不相等，

这是由于定理条件.

(2) 因为

然而

即积分次序不能交换.

这是由于

不论多大，总有，

因而

(3) 因为而

在

使得

上不一致收敛，所以不能交换积分次序.

所以

但是

对

在

上不一致收敛，从而不符合

能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解？ 能否运用积分顺序交换来求解？

能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？

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