2017年暨南大学经济学院709数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若在则有
【答案】
设分点的任何取法，只要
上可积，在
则由定积分定义，对任给的
就有
由
现设
在由于
时，恒有
和
对于
上对
令
上的任何分割
用拉格朗日中值定理，得
，则
得从而当
的一个分
割时(此时
且
故
即
满
足
有
且
及任意分点
在
上可积知
，
在
在
上有界.
设
如果
则
此时
结论显然成立。
上连续，
又由于
在
上可积，故有界，又由导函数的达布
使得当
且
定理知没有第一类间断点，故在
上连续. 从而一致连续，故存在
使得对
的任何分割及
上严格单调且在
上可积，
2．
设
明
:
在
在
上可积.
上连续
，
在上可积.
当时
，. 证
【答案】由于在上连续，所以它在
时，有
上一致连续，即
因此作
事实上，从而
的分割之后，在
只要
上，若的振幅则
，必有
的振幅
由此知，在
上，若
必有
故
这样，件的
必要性对上述的
和
分割
使得
于是由式(2) 知
最后由第三充要条件的充分性即知，
3．
设
在
【答案】构造辅助函数由于使得整理得
)
由于
先找使式(1) 成立. 再由在上的可积性，利用第三充要条
在上可积. 内可导
，
证明
:
使
上连续，
在
则由罗尔中值定理得，存在
从而函数单调，从而原式成立.
注：本题还可以用上下确界的方法做.
4． 设函数f 在区间I 上连续，证明：
(1) 若对任何有理数【答案】(1)
设当
为有理数时(2)
设有两个实数数从而
.
和
存在而当
满足
故f 在上严格递增.
5． 设a ，b ，A 是均不为零的有限数，证明
【答案】因为当由所以且
再证充分性. 因为故因此有
所以
时
故
(当
时) ，
先证必要性.
的充分必要条件是：
(设
时
有
则在I
上有
则f 在上严格増.
使
又因为
使得
：
可知时
从而
再由
存在有理数
知，
并且对于正
两点连续. 由) ，使得当.
由有理数的稠密性知，
存在有理数
所以
(2) 若对任意两个有理数
由f 的连续性得
为中的任一无理数，由有理数的稠密性知，
存在有理数列
也为0，于是，在上
因为f (x ) 在上连续，所以f (x ) 在
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