2017年东北师范大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体X 的均值为方差为
线性无偏估计量. 证明
：与T 的相关系数为
【答案】由于于是
而
故有
从而
2． 设
是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，
为的线性无偏估计量，故
是来自该总体的一个样本，
其中为的任一凸
在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
（1）（2）（3）
【答案】先求三个统计量的数学期望，
这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为
不难看出
从而
的有效性最差.
则
由此可推测。当用样本的凸组合 3． 设
【答案】由
服从均匀分布
可知
试证
估计总体均值时，样本均值是最有效的。
及
都是的无偏估计量，哪个更有效？
的密度函数分别为
从而
故，由又可算得
从而
故
4． 设总体为韦布尔分布
即
更有效.
知两者均为的无偏估计.
事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.
其密度函数为
现从中得到样本
证明
仍服从韦布尔分布, 并指出其参数.
为
因而最小次序统计量这说明. 5． 若
为从分布族
为充分统计量.
【答案】样本X 的联合密度函数为
由因子分解定理知,
【答案】由总体分布的密度函数可得总体的分布函数
的分布函数为
中抽取的简单样本,
试证
为充分统计量.
6． 设总体μ，则
的UMVUE. 【答案】大家知道：
分别是
为样本，证明，
的无偏估计，设
分别为
是0的任一无偏估计，
即
将（*）式两端对H 求导，并注意到
有
这说明为证明
即
于是
从而
的UMVUE.
的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
这表明这就证明了
7． 设时,
由此可得到的UMVUE.
试证明:当n 充分大
因而
为一独立同分布的随机变量序列, 已知
近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.
【答案】因为为独立同分布的随机变量序列, 所以也是独立同分布的随机变量序列.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为
8． 设（
【答案】
）是充分统计量.
, 诸独立, 是已知常数, 证明
的联合密度函数为