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一、证明题

1． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即

时, 有

当, 结论得证.

若只有一个观测值，则

的最大似然估计不存在.

时, 有

令

2． 证明：对正态分布

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在

时趋于

这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，

从而

的最大

似然估计不存在.

3． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.

【答案】因为 4． 记

证明

【答案】

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所以由单调性知从而得

又因为

所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.

由得

5． 设总体

【答案】由于总体均方误差为

是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

下存在优于的估计. 现考虑形如

的估计类，其

所以

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则

将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当

时，

最小. 且

这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.

6． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且

证明:对任意正常数a , b 有

【答案】记

则

由条件知p<0, 所以

由此得

令

则

所以

其中

又由

知

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这就完成不等式的证明.

7． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，

即对任意的实数

与X 有相同的偏度系数与峰度系数.

【答案】因为j

所以

即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为

所以Y 与X 有相同的峰度系数.

8． 设不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

即

将（*）式两端对求导，并注意到

有

这说明

由此可以得到则

从而，进一步，不等式的下界.

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求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它

我们将（**）式的两端再对H 求导，得

记

为的UMVUE.

C-R 下界为

故此UMVUE 的方差达不到C-R