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一、计算题

1． 如图所示, 物块A 的质量为

B 轮的质量为

半径为R , 在水平面做无滑动滚动. 轮心用刚度

为广义坐标,

为k 长度为1的弹簧与物块A 相连, 物块A 与水平面间为光滑接触. 试以

（1）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数； （2）写出系统的第二类拉格朗日方程； （3）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分

.

图

【答案】（1）系统的动能为:

系统势能为:

其中

为处于平衡位置弹簧的伸长量.

拉格朗日函数

（2）第二类拉格朗日方程

代入上一步的表达式, 得

（3）求其首次积分. 因拉格朗日函数中不显含时间t , 故存在能量积分, 系统机械能守恒, 即

2． 如图1所示，长为静止开始运动的瞬时:

（1）杆AB 的角加速度；

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质量为m 的均质杆AB , 与水平悬壁梁OA 在A 处铰接，梁OA 长为O

处从

处为固定端。不计铰A 处的摩擦及梁OA 的自重。试用达朗贝尔原理求，当杆AB 于

（2）固定端O 处的约束力。

图1

【答案】（1）虚加惯性力如图2所示

图2

（2）惯性力表达式

（3）统一变量

（4）取整体为研究对象

取AB 为研究对象

联立方程①②③④解得

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3． 求图1所示桁架杆1, 2, 3的内力。

图1

【答案】如图2（a ）所7K 。

图2（a ）

（1）以C 点为研究对象, 由平衡方程

得

（2）以整体为研究对象, 对B 点取矩, 由平衡方程

得

解得

应用截面法由k-k 截面截取右半部分为研究对象。 由平衡方程

得

解得

负号表示杆的内力为压力。

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