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一、证明题

1． 证明下列函数在x=0处不可导：

【答案】(1) 因为(2) 先求

当

时

于是

再求

当

时

于是

因为

2． 设

为开集

因为

所以

在x=0处不可导.

均为可微函数，证明

：在处可微，所以

又

由

在

处可微，知f

在所以

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所以在x=0处不可导.

也是可微函数，而且

【答案】对

处连续，从

而

在附近有界，

即

使

这表明，

3． 证明：若

【答案】已知因为

其中在

4． 设x=x(y ，z ) ，y=y(z , x ) ，z=z(x , y ) 为由方程F (x , y , z ) =0所确定的隐函数. 证明：

【答案】由隐函数定理知

所以得

5． 设函数f 在

【答案】由是区间

上满足方程

知，对任给的因为

再由的任意性知，

6． 证明数集

有且只有两个聚点

所以

和数

列

数列

聚点.

对任意

则当

时，

或者有

且

令

或者有

由

总之

得

取

则

且

存在正数M ，使得当所以存在正整数N ，使得

时

由

设得

有

中的任一数，由于

证明，

之间，在

时有

之间，于是

即f (x ，y ) 在D 上一致连续.

当

在处可微，且

由的任意性，知

在上可微，且

与在矩形域D 上有界，则f (x ，y ) 在D 上一致连续. 在D 上有界，即

有

由的任意性知，对所有的

【答案】令数

集

都是各项互异的数列，根据定义2, 1和-1是S 的两个

由定义2知不是S 的聚点，故数集

7． 用柯西收敛准则证明

:

有且只有1和一1两个聚点。

收敛.

【答案】当n 适当大时，对任意的自然数p ，有

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当

时，

为自然数，都有

由柯西收敛准则，

收敛.

二、解答题

8． 回答下列问题：

(1) 对极限(2) 对(3) 对|

【答案】(1) 因为

因而

但是

即交换运算后不相等，

这是由于定理条件.

(2) 因为

然而

即积分次序不能交换.

这是由于

不论多大，总有，

因而

(3) 因为

在

使得

上不一致收敛，所以不能交换积分次序.

所以

但是

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能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解？ 能否运用积分顺序交换来求解？

能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？

在上不一致收敛，从而不符合

对