当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

(1) 在(ii )

在试证明【答案】先证明条件(ii ) ，存在

因此，当令不妨设下面证明对于

因为且

充分接近时，可使

再将y 固定，由条件(i ) ，存在

因此

即

_

当所以

在

时，有

上有定义，且在每一则

使得在

的一个

由条件(i ) 得

利用(ii ) 及前面的结论，当

当

时，且存在.

时，且

有

根据柯西准则，可证

存在.

就有

点

的某邻域

上，对每个时，对所有

只要

上有定义，且满足： 存在极限

都有

(即对任

意

成立) .

存

在

当

上，关于一致地存在极限

-

2． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明：若点极限都存在，则

在内有

开覆盖.

(2) 利用致密性定理解:反证法。假设使

得

则

矛盾。

(3) 利用区间套定理解:反证法. 假设使得论

在每个区间

在点邻域内的有界性，推出矛盾.

第 2 页，共 28 页

上有界.

设

即

在

以此构造闭区间

上无界，则对任意正整数n ，存在

. 中存在收敛子

列

设

【答案】(1) 利用有限覆盖定理解:由已知，

于是得到数列由致密性定理

，

在上无界，则利用二等分法构造区间套

然后讨

上无界. 由区间套定理，存在唯一的

3． 设

符号一致. 又因为

的最大零点为所以

证明因此

上恒正或恒负. 即

的

【答案】因为是f (x ) 的最大零点，所以f (x ) 在

4． 设a ，b ，

【答案】由于当

时，原不等式化为

上式等价于

两边平方，得

即

由于即

当

所以上式等价于

时，这个不等式是成立的. 所以原命题成立.

的两边之

(

表示全体正实数的集合) . 证明

故只需对

的情形进行证明.

你能说明此不

等式的几何意义吗？

题中不等式的几何意义如图所示，其中AB=a, BD=b, BC=c.其几何意义表示差小于第三边

.

图

5． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明：

【答案】将又因为

代入欧拉公式，得

第 3 页，共 28 页

比较上面两式的实部与虚部可得

二、解答题

6． 设

是有界闭集

，

是D 上的连续函数. 证明：

在D 上有界，且一定取到最

大值和最小值.

【答案】①若f 无界，

则

这与已知条件矛盾，所以

②

由确界原理，知

存在，即

再由连续性和有界性得，同理可

在D 上有最小值.

7． 求下列函数在指定点处的泰勒公式：

(1) (2) (3) (4) . 【答案】

所以

其中

(2)

第 4 页，共 28 页

在D 上有界，用反证法来证明：

所以由连续性，

在D 上有界.

在D 上一定取到最大值和最小值. 用确界原理来证明.

在点(0, 0)(到二阶为止) ；

在点(1，1)(到三阶为止) ；

在点(0, 0) ;

在点(1, -2)