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一、证明题

1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续：

【答案】(1)

由

得

取

由于是

则当

时

知，

对于任给的

在其定义域内连续.

必可以表示成偶函数

与奇函数

取

则当

于是，f (X ) 在其定义域内连续. (2) f (x ) 的定义域是R ,

任取

时

的定义域是

因为

的图像关于原点对称，所以对于任给

的

限

制

只需对X>0的情形进行证明. 设

.

2． 证明：定义在对称区间(-1，1) 内的任何函数之和的形式，且这种表示法是唯一的.

【答案】令

则

下证唯一性. 若还存在偶函数用

式有

由①+②可得

3． 设

在

再代入①式可得上有

阶导数且

及

求证：【答案】将

.

在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

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且容易证明和奇函数

是偶函数，满足

是奇函数.

则有

由微分中值定理

对在a 点作同样的展开，有

将上式代入式(1) 可得

比较式(2) 、式(3) ，且有故

则

二、解答题

4． f (x ) 是以

(1) 求函数

为周期的连续函数，其傅里叶系数为

的傅里叶系数

(2) 利用题(1) 的结果证明帕塞瓦尔(Parseval ) 等式

【答案】⑴(2) 由题(1) 得

在G (x ) 中令

得

即

5． 若

【答案】

的连续可导函数

知，

时，由

连续，可知

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问对于

之差分别是多少？

6． 是否存在

由当由从而

满足

：在

存在，.

且

上严格单调递増，又由

则

【答案】方法一若存在满足这些条件的函数，

根据单调有界定理，

又知由于是

这与

存在及存在，必有

矛盾，所以假设不成立，

所以这样的函数不存在.

方法二假若存在满足这些条件的函数，

由又由

对于是从而显然，当 7． 设

【答案】

而

8． 设

均为正整数数列，

证明:数列

均为正整数数列，利用已知的递推关系式可得

进而有

记下界.

另一方面

，

理，

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知

得有

在

上严格单调递增，

时，有

这与条件矛盾，所以这样的函数不存在.

的极限存

在，并求该极限值.

【答案】当

时，由

则上式可化为由此易得，这表明数列有

即

在

这表明数列单调递减. 由单调有界定解之得

存在，记为

两边取极限，可得