2017年北京师范大学数学科学学院601专业基础(数学分析85分、高等代数65分)之高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 试决
【答案】
令当当当由
, 得
。
时, y 〞>0, 因此曲线在时, y 〞>0, 因此曲线在
上是凹的; 上是凹的,
中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点。
时, y 〞<0, 因此曲线在[一1, l]上是凸的;
从而知（一l , 4k ）, （l , 4k ）为曲线的拐点。
知过点（一1, 4k ）的法线方程为
要使该法线过原点, 则（0, 0）应满足这方程, 将x=0, y=0代入上式, 得
2． 求函数
【答案】
在点（0, 0）的三阶泰勒公式。
于是
又
将以上各项代入三阶泰勒公式，便得
其中
3． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设a>b，液体的密度为ρ，试求薄板每面所受的压力。
【答案】如图，记x 为薄板上点到进水面的长边的距离，取x 为积分变量，则x 的变化范围为[0, 6]，对应小区间[x，x+dx]，压强为
，面积为adx ，因此压力为
图
4． 设a=（2，﹣3，l ），b=（l ，﹣2，3），c=（2，l ，2），向量r 满足求r.
【答案】设向量r=（x ，y ，z ）. 由由由
，即
，即
知
联立上述三个方程得x=14，y=10，z=2.故r=（14, 10, 2）
5． 求下列函数所指定的阶的导数:
求
求
。
14，
【答案】（l ）利用莱布尼茨公式
其中
（2）由
及布莱尼公式
6． 求抛物线
及其在点
处的法线所围成的图形的面积.
2
【答案】用隐函数求导方法，抛物线方程y =2px两端分别对x 求导，得故法线斜率为k=-1，从而得到法线方程为
即得，
，因此所求面积为 （如图所示）
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