2017年北京市培养单位地理科学与资源研究所602高等数学(乙)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 判断下列级数的收敛性：
【答案】（1）此级数为公比（2）此级数的部分和
而
即该级数发散。 （3）此级数的一般项级数发散。
（4）此级数为公比（5）此级数的一般项等比级数，而
故
与
的等比级数，因
注意到
故该级数发散。
分别是公比
与
的
有
不满足级数收敛的必要条件，故该
故
的等比技术，因
故该级数收敛。
均收敛，根据收敛级数的性质可知，原级数
收敛。
2． 研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:
（1）（2）
【答案】（1）f （1）在[0, 1）及（1, 2]内连续，在x=1处，
，又
（2）f （x ）在处
函数的图形如图2所示。
与但
。
故f （x ）在x=1处连续，因此f （x ）在[0, 2]上连续，函数的图形如图1所示。
内连续，在x=-1处间断，但右连续，因为在x=-1
即
。
图1 图2
3． 设有直角三角形，测得其两直角边的长分别为（7士0.1） cm 和（24士0.1） cm. 试求利用上述两值来计算斜边长度时的绝对误差.
【答案】设两直角边长度分别为x 和y ，利用勾股定理，得斜边长度为
计算得
当x=7，y=24，
时，计算得
即计算斜边长度z 的绝对误差约为0.124cm.
4． 设一平面垂直于平面z=0，并通过从点（1, ﹣1, 1）到直线的方程.
【答案】直线
的方向向量
的垂线，求此平面
作过点（1, ﹣1, 1）且以s=（0，﹣1, ﹣1）为法向量的平面
联立
，得垂足
.
. 平面过点（1, ﹣1, 1
）及垂足
所求平面垂直于平面z=0，
设平面方程为
，故有
由此解得B=2D，A=D.因此所求平面方程为
5． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?
【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为故
令当
, 得
时,
, 故V 在
内单调增加; 当
为极大值点, 又驻点惟一, 从而时, 做成的漏斗的容积最大。
时,
, 故V
在
, 又
，即
内单调减少。因此
也是最大值点, 即当
取
图