2017年郑州大学联合培养单位河南工程学院915高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 计算行列式
【答案】解法I 第行都乘-1加到第1行，得
解法II 先从第列提出公因子，然后各列都乘-1加到第一列，即
2 线性空间．里
【答案】
所以存在非零向量
又因为子空间的交仍是子空间，所以有
这样得
即得a 的两个不同分解式，与a 分解式唯一性相矛盾.
的和是直和的充要条件是
按直和的定义，必要性显然
.
且有唯一分
解
如
果
不是直和，
则
中至少有一个向量a 可唯一地表示为
这
3． 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用它表出全部解.
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）对系数矩阵作初等行变换
得到同解的齐次方程组
可解得一般解
其中
是自由未知量，分别取自由未知量为
代入一般解，
方程组的全部解为：（2）
取任意的常数.
是一个基础解系. 全部解为
得到一个基础解系为
取任意常数. （3）（4
）
取任意常数.
4． 设矩阵
的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.
是基础解系，全部解为及
取任意常数.
为基础解系，全部解
为
【答案】计算可得A 的特征多项式为
若解得当
是特征方程的二重根，则有
时，A 的特征值为2, 2, 6,
的秩为1，故
对应的线性无关特
征向量有两个，从而A 可相似对角化.
若当
不是特征方程的二重根，则时，A 的特征值为2, 4, 4, 矩阵
为完全平方，从而
的秩为2, 故
解得
对应的线性无
关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化.
5． 设二次型
其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. （1）求a ，b 的值；
（2）利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【答案】解法1 （1）二次型f 的矩阵为
设A 的特征值为
由题设，有
解之得a=l，b=2
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