2018年湖南大学工商管理学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证:的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
的可能取值范围是（0, 1），且
是严格单调减函数， ，所以
的密度函数为
即
2． 设二维随机变量（x , y ）的联合密度函数为少有一个小于0.5的概率
【答案】两事件
中至少有一个发生的概率为
3． 设
【答案】记所以由故舍去.
所以得
4． 设随机向量
满足条件
其中
【答案】对等式
均为常数，求相关系数
的两边求方差得
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都服从区间（0, 1）上
其反函数为
，知也服从区间（0, 1）上的均匀分布. 结论得证.
求X 与Y 中至
，如果则
得
因为
求.
，
由此解得p=l/3或p=l.因为p=l导致X 为单点分布，即X 几乎处处为0, 这无多大实际意义，
由此解得
同理，对等式同理，对等式进一步
当
时，对等
式
的两边求方差可得
的两边求方差可得
的两边求期望
得
将上面三个式子分别代入
的表达式中，可得
5． 从数字1，2, …，9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率.
【答案】记事件A 为“至少取到一次5”，事件B 为“至少取到一次偶数”，则所求概率为P （AB ）, 因为
所以
下表对一些不同的n ，给出P （AB ）的值:
表
从上表可以看出:P （AB ）是随着n 的增加而增加的，直至趋向于1, 这是符合人们直观感觉的.
6． 玻璃杯成箱出售, 毎箱20只, 各箱含0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1、0.1. 一顾客欲购一箱玻璃杯, 在购买时, 售货员随意拿出一箱, 顾客开箱随机察看四只, 若无残次品, 则买下该箱玻璃杯, 否则退回. 试求:
（1）该顾客买下该箱杯子的槪率；
（2）在顾客买下的一箱中确实没有残次品的概率. 【答案】设事件B 为“顾客买下查看的这箱玻璃杯”, 事件品”
则（1）
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所以
有
由此可得
为“箱中恰有只残次
为一完备事件组.
（2）
7． 将3个球随机地放入4个杯子中去，试求杯子中球的最大个数X 的概率分布.
【答案】X 的可能取值为1，2, 3, 因为3个球随机地放入4个杯子中，共有种可能情况，这是分母，若记事件A 为“X=l”，B 为“X=2”，C 为:“X=3”，可知A ，B ，C 互不相容，且其并为必然事件事件A 发生只能是:第1个球随机放入4个杯子中的任一个、第2个球随机放入余下的3个杯子中的任一个、第3个球随机放入余下的2个杯子中的任一个，这共有4x3x2种可能情况，所以
.
事件C 发生只有4种可能情况:3个球全部放在第一，或第二，或第三，或第四个杯子中，所以
又因为P （A ）+P（B ）+P（C ）=1，所以得
将以上结果列表为
表
1
8． 设随机变量
服从柯西分布，其密度函数为
试证:
当
时，有
【答案】对任意的
即
结论得证.
二、证明题
9． 设总体概率函数是对
的任一估计
令
人们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
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是其样本，，证明
:
是的充分统计量，则
. 这说明，在均方误差准则下，