2018年海南大学农学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 9名学生到英语培训班学习，培训前后各进行了一次水平测验，成绩为:
表
（1）假设测验成绩服从正态分布，问学生的培训效果是否显著？ （2）不假定总体分布，采用符号检验方法检验学生的培训效果是否显著.
（3）采用符号秩和检验方法检验学生的培训效果是否显著. 三种检验方法结论相同吗？ 【答案】 （1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，可通过对做单样本t 检验进行. 一对假设为故可算出检验统计量值为
由于
，于是检验的P 值为
p 值大于0.05, 在显著性水平0.05下不能认为学生的培训效果显著. （2）由于
正数的个数为2, 从而检验的p 值为
，这是一个
，观测
p 值大于0.05, 在显著性水平0.05下也不能认为学生的培训效果显著. （3）由于两个正的差值的秩分别为4.5和6, 故符号秩和检验统计量为单边假设检验，检验拒绝域为
，在给定
下，可知
值没有落入拒绝域，故也不能认为学生的培训效果显著，三者结果一致.
2． 设平面区域D 由曲线及直线所围成，二维随机变量（x , y ）在区域D 上服从均匀分布，试求X 的边际密度函数.
【答案】因为区域D 的面积为（如图）
又因为（X ，Y ）服从D 上的均匀分布，所以（X ，Y ）的联合密度函数为
图
由此得，当
时，
所以X 的边际密度函数为
若此题要求出Y 的边际密度，则从图中可以看出: 当
时，有
当
时，有
所以Y 的边际密度为
3． 验证:泊松分布的均值的共轭先验分布是伽玛分布.
【答案】泊松分布的概率函数为其密度函数为对来自泊松分布
的样本
，
的后验分布为
，若的先验分布为伽玛分布，
即的后验分布为
，仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值
的共轭先验分布.
4． 某电工器材厂生产一种保险丝，测量其溶化时间，依通常情况方差为400, 今从某天产品中抽取容量为25的样本，
测量其熔化时间并计算得布）？
【答案】本题可归结为关于正态总体方差的双恻检验问题当
时，查表知，
，
下可以认为该天保险丝熔化时间的方差
，
因此拒绝域为此处，检验统计量为
该值没有落入拒绝域内，从而在显著性水平与通常无显著差异.
5． 设随机向量
，
，假定熔化时间服从正态分
问这天保险丝熔化时间的方差与通常有无显著差异（取
满足条件
其中
【答案】对等式由此解得
均为常数，求相关系数
的两边求方差得
同理，对等式同理，对等式进一步
当
时，对等
式
的两边求方差可得
的两边求方差可得
的两边求期望
得
所以
有
由此可得
将上面三个式子分别代入
的表达式中，可得
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